Semester 2 kelas 8 SMP merupakan periode krusial dalam pembelajaran matematika. Materi yang disajikan semakin menantang dan menjadi fondasi penting untuk jenjang pendidikan selanjutnya. Memahami konsep-konsep yang diajarkan dan melatih diri dengan berbagai jenis soal adalah kunci utama keberhasilan. Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif untuk membantu Anda menguasai matematika kelas 8 SMP semester 2, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi beserta pembahasannya.
Mengapa Semester 2 Kelas 8 Penting?
Semester 2 kelas 8 SMP biasanya mencakup topik-topik seperti:
- Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV): Memahami cara menyelesaikan sistem persamaan yang melibatkan dua variabel, baik dengan metode substitusi, eliminasi, maupun grafik.
- Teorema Pythagoras: Mengaplikasikan teorema ini untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku, serta penerapannya dalam berbagai masalah kontekstual.
- Lingkaran: Mengenal unsur-unsur lingkaran, menghitung keliling dan luasnya, serta memahami konsep garis singgung dan sudut-sudut dalam lingkaran.
- Bangun Ruang Sisi Datar: Mempelajari sifat-sifat, jaring-jaring, luas permukaan, dan volume bangun ruang seperti balok, kubus, prisma, dan limas.
- Statistika: Mengolah dan menyajikan data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram lingkaran, serta menghitung ukuran pemusatan data (mean, median, modus).
Setiap topik ini memiliki tingkat kesulitan yang berbeda, namun dengan pemahaman konsep yang kuat dan latihan yang cukup, Anda pasti bisa menguasainya.
Bagian 1: Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
PLDV adalah materi fundamental yang mengajarkan kita bagaimana menyelesaikan masalah yang melibatkan dua besaran yang tidak diketahui nilainya.
Konsep Kunci:
- Persamaan Linear Dua Variabel: Persamaan yang mengandung dua variabel dengan pangkat tertinggi masing-masing variabel adalah satu. Contoh: $2x + 3y = 10$.
- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Sekumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang memiliki solusi yang sama.
- Metode Penyelesaian:
- Metode Substitusi: Mengganti salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya.
- Metode Eliminasi: Menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
- Metode Grafik: Menggambar kedua persamaan pada sistem koordinat Cartesius. Titik potong kedua garis adalah solusi dari SPLDV.
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi:
$x + 2y = 5$
$3x – y = 4$
Pembahasan:
-
Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk salah satu variabel.
Dari persamaan pertama, kita bisa ubah menjadi $x = 5 – 2y$. -
Substitusikan bentuk variabel tersebut ke persamaan kedua.
$3(5 – 2y) – y = 4$
$15 – 6y – y = 4$
$15 – 7y = 4$
$-7y = 4 – 15$
$-7y = -11$
$y = frac-11-7 = frac117$ -
Substitusikan nilai y yang diperoleh ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai x.
$x + 2(frac117) = 5$
$x + frac227 = 5$
$x = 5 – frac227$
$x = frac357 – frac227$
$x = frac137$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(frac137, frac117)$.
Contoh Soal 2:
Harga 2 kg beras dan 3 kg gula adalah Rp 28.000. Harga 3 kg beras dan 1 kg gula adalah Rp 26.000. Berapakah harga 1 kg beras dan 2 kg gula?
Pembahasan:
Misalkan harga 1 kg beras = $b$ dan harga 1 kg gula = $g$.
Dari soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
1) $2b + 3g = 28.000$
2) $3b + g = 26.000$
Kita akan gunakan metode eliminasi. Kita eliminasi variabel $g$. Kalikan persamaan (2) dengan 3:
$3 times (3b + g = 26.000) Rightarrow 9b + 3g = 78.000$
Sekarang kurangkan persamaan (1) dengan persamaan baru ini:
$(9b + 3g) – (2b + 3g) = 78.000 – 28.000$
$7b = 50.000$
$b = frac50.0007$
Oops, sepertinya ada kesalahan dalam angka soal ini karena menghasilkan nilai yang tidak bulat. Mari kita ubah soalnya agar lebih mudah dipahami dan dikerjakan.
Contoh Soal 2 (Revisi):
Harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalah Rp 48.000. Harga 3 kg apel dan 1 kg jeruk adalah Rp 46.000. Berapakah harga 1 kg apel dan 2 kg jeruk?
Pembahasan (Revisi):
Misalkan harga 1 kg apel = $a$ dan harga 1 kg jeruk = $j$.
Dari soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
1) $2a + 3j = 48.000$
2) $3a + j = 46.000$
Kita akan gunakan metode eliminasi. Kita eliminasi variabel $j$. Kalikan persamaan (2) dengan 3:
$3 times (3a + j = 46.000) Rightarrow 9a + 3j = 138.000$
Sekarang kurangkan persamaan (1) dengan persamaan baru ini:
$(9a + 3j) – (2a + 3j) = 138.000 – 48.000$
$7a = 90.000$
$a = frac90.0007$
Masih belum bulat. Mari kita coba ubah angkanya lagi untuk mendapatkan hasil yang lebih "cantik".
Contoh Soal 2 (Revisi Kedua):
Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp 11.000. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp 14.000. Berapakah harga 1 buku dan 1 pensil?
Pembahasan (Revisi Kedua):
Misalkan harga 1 buku = $b$ dan harga 1 pensil = $p$.
Dari soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
1) $2b + 3p = 11.000$
2) $3b + 2p = 14.000$
Kita akan gunakan metode eliminasi. Kita samakan koefisien $b$. Kalikan persamaan (1) dengan 3 dan persamaan (2) dengan 2:
$3 times (2b + 3p = 11.000) Rightarrow 6b + 9p = 33.000$
$2 times (3b + 2p = 14.000) Rightarrow 6b + 4p = 28.000$
Sekarang kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua:
$(6b + 9p) – (6b + 4p) = 33.000 – 28.000$
$5p = 5.000$
$p = 1.000$
Substitusikan nilai $p$ ke salah satu persamaan awal, misalnya persamaan (1):
$2b + 3(1.000) = 11.000$
$2b + 3.000 = 11.000$
$2b = 11.000 – 3.000$
$2b = 8.000$
$b = 4.000$
Maka, harga 1 buku adalah Rp 4.000 dan harga 1 pensil adalah Rp 1.000.
Pertanyaannya adalah harga 1 buku dan 1 pensil, yaitu $b + p = 4.000 + 1.000 = 5.000$.
Bagian 2: Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema paling terkenal dalam geometri, yang menghubungkan panjang sisi-sisi dalam segitiga siku-siku.
Konsep Kunci:
- Segitiga Siku-siku: Segitiga yang salah satu sudutnya berukuran 90 derajat.
- Sisi Siku-siku: Dua sisi yang membentuk sudut siku-siku.
- Sisi Miring (Hipotenusa): Sisi terpanjang yang berhadapan dengan sudut siku-siku.
- Rumus Pythagoras: Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.
Jika $a$ dan $b$ adalah panjang sisi siku-siku, dan $c$ adalah panjang sisi miring, maka:
$a^2 + b^2 = c^2$
Contoh Soal 3:
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang salah satu sisi siku-sikunya 8 cm dan panjang sisi miringnya 10 cm. Berapakah panjang sisi siku-siku yang lain?
Pembahasan:
Diketahui:
Sisi siku-siku 1 ($a$) = 8 cm
Sisi miring ($c$) = 10 cm
Sisi siku-siku 2 ($b$) = ?
Menggunakan rumus Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$
$8^2 + b^2 = 10^2$
$64 + b^2 = 100$
$b^2 = 100 – 64$
$b^2 = 36$
$b = sqrt36$
$b = 6$ cm
Jadi, panjang sisi siku-siku yang lain adalah 6 cm.
Contoh Soal 4:
Seorang nelayan berlayar dari pelabuhan sejauh 12 km ke arah utara, kemudian berbelok ke timur sejauh 5 km. Berapakah jarak terpendek dari pelabuhan ke posisi nelayan sekarang?
Pembahasan:
Pergerakan nelayan ini membentuk segitiga siku-siku.
Jarak ke utara adalah salah satu sisi siku-siku (misal $a = 12$ km).
Jarak ke timur adalah sisi siku-siku yang lain (misal $b = 5$ km).
Jarak terpendek dari pelabuhan ke posisi nelayan sekarang adalah sisi miring ($c$).
Menggunakan rumus Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$
$12^2 + 5^2 = c^2$
$144 + 25 = c^2$
$169 = c^2$
$c = sqrt169$
$c = 13$ km
Jadi, jarak terpendek dari pelabuhan ke posisi nelayan sekarang adalah 13 km.
Bagian 3: Lingkaran
Lingkaran adalah salah satu bangun datar yang paling sering ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Memahami sifat-sifat dan rumus-rumusnya sangat penting.
Konsep Kunci:
- Unsur-unsur Lingkaran: Titik pusat, jari-jari, diameter, tali busur, busur, tembereng, juring, apotema, garis singgung.
- Keliling Lingkaran: Panjang garis lengkung yang membentuk lingkaran. Rumus: $K = 2pi r$ atau $K = pi d$.
- Luas Lingkaran: Besar daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Rumus: $L = pi r^2$.
- $pi$ (Pi): Konstanta matematika yang nilainya kira-kira 3.14 atau $frac227$.
Contoh Soal 5:
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 14 meter. Hitunglah keliling dan luas taman tersebut! (Gunakan $pi = frac227$)
Pembahasan:
Diketahui:
Diameter ($d$) = 14 meter
Jari-jari ($r$) = $fracd2 = frac142 = 7$ meter
$pi = frac227$
Menghitung Keliling:
$K = pi d$
$K = frac227 times 14$
$K = 22 times 2$
$K = 44$ meter
Menghitung Luas:
$L = pi r^2$
$L = frac227 times 7^2$
$L = frac227 times 49$
$L = 22 times 7$
$L = 154$ meter persegi
Jadi, keliling taman adalah 44 meter dan luasnya adalah 154 meter persegi.
Contoh Soal 6:
Sebuah roda berputar sebanyak 50 kali untuk menempuh jarak 110 meter. Berapakah diameter roda tersebut? (Gunakan $pi = frac227$)
Pembahasan:
Jarak yang ditempuh oleh roda dalam satu putaran adalah kelilingnya.
Total jarak = 110 meter
Jumlah putaran = 50 kali
Keliling roda = $fractextTotal JaraktextJumlah Putaran$
$K = frac110 text meter50 = 2.2$ meter
Sekarang kita gunakan rumus keliling untuk mencari diameter:
$K = pi d$
$2.2 = frac227 times d$
$d = 2.2 times frac722$
$d = frac2.2 times 722$
$d = frac15.422$
$d = 0.7$ meter
Jadi, diameter roda tersebut adalah 0.7 meter.
Bagian 4: Bangun Ruang Sisi Datar
Bagian ini mempelajari tentang bangun-bangun tiga dimensi yang memiliki sisi-sisi berbentuk datar, seperti kubus, balok, prisma, dan limas.
Konsep Kunci:
- Kubus: Balok dengan semua rusuknya sama panjang.
- Luas Permukaan Kubus: $6 times s^2$ (dengan $s$ adalah panjang rusuk)
- Volume Kubus: $s^3$
- Balok: Bangun ruang yang dibatasi oleh enam persegi panjang.
- Luas Permukaan Balok: $2(pl + pt + lt)$ (dengan $p$ = panjang, $l$ = lebar, $t$ = tinggi)
- Volume Balok: $p times l times t$
- Prisma: Bangun ruang yang memiliki alas dan tutup berbentuk sama dan sejajar, serta sisi-sisi tegaknya berbentuk persegi panjang.
- Luas Permukaan Prisma: $2 times textLuas Alas + textLuas Selimut$
- Volume Prisma: $textLuas Alas times textTinggi Prisma$
- Limas: Bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segibanyak dan sisi-sisi tegaknya berbentuk segitiga yang bertemu di satu titik puncak.
- Luas Permukaan Limas: $textLuas Alas + textLuas Selimut$
- Volume Limas: $frac13 times textLuas Alas times textTinggi Limas$
Contoh Soal 7:
Sebuah akuarium berbentuk balok memiliki panjang 50 cm, lebar 30 cm, dan tinggi 40 cm. Berapa volume air yang dapat ditampung oleh akuarium tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
Panjang ($p$) = 50 cm
Lebar ($l$) = 30 cm
Tinggi ($t$) = 40 cm
Volume Balok: $V = p times l times t$
$V = 50 text cm times 30 text cm times 40 text cm$
$V = 1500 text cm^2 times 40 text cm$
$V = 60.000 text cm^3$
Jadi, volume air yang dapat ditampung akuarium adalah $60.000 text cm^3$.
Contoh Soal 8:
Sebuah prisma segitiga memiliki alas segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm, serta panjang hipotenusanya 10 cm. Jika tinggi prisma adalah 15 cm, hitunglah luas permukaan prisma tersebut!
Pembahasan:
Luas Alas Segitiga = $frac12 times textalas segitiga times texttinggi segitiga$
Luas Alas = $frac12 times 6 text cm times 8 text cm = 24 text cm^2$
Luas Selimut Prisma = Keliling Alas $times$ Tinggi Prisma
Keliling Alas = $6 text cm + 8 text cm + 10 text cm = 24 text cm$
Luas Selimut = $24 text cm times 15 text cm = 360 text cm^2$
Luas Permukaan Prisma = $2 times textLuas Alas + textLuas Selimut$
Luas Permukaan = $2 times 24 text cm^2 + 360 text cm^2$
Luas Permukaan = $48 text cm^2 + 360 text cm^2$
Luas Permukaan = $408 text cm^2$
Jadi, luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah $408 text cm^2$.
Bagian 5: Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan menganalisis data.
Konsep Kunci:
- Data: Kumpulan informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian.
- Penyajian Data: Tabel frekuensi, diagram batang, diagram lingkaran, diagram garis.
- Ukuran Pemusatan Data:
- Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
- Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
- Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam data.
Contoh Soal 9:
Nilai ulangan matematika 10 siswa adalah sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 5, 8, 7, 9, 6.
Tentukan:
a. Mean
b. Median
c. Modus
Pembahasan:
Pertama, urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar:
5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
a. Mean:
Jumlah seluruh data = $5+6+6+7+7+7+8+8+9+9 = 72$
Banyaknya data = 10
Mean = $fractextJumlah seluruh datatextBanyaknya data = frac7210 = 7.2$
b. Median:
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Dua nilai tengah adalah data ke-5 dan data ke-6.
Data ke-5 = 7
Data ke-6 = 7
Median = $frac7 + 72 = 7$
c. Modus:
Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (muncul 3 kali).
Modus = 7
Contoh Soal 10:
Data tinggi badan siswa kelas 8B disajikan dalam tabel berikut:
| Tinggi Badan (cm) | Frekuensi |
|---|---|
| 150 – 154 | 3 |
| 155 – 159 | 5 |
| 160 – 164 | 7 |
| 165 – 169 | 4 |
| 170 – 174 | 1 |
Tentukan median dari data tersebut! (Untuk memudahkan perhitungan, gunakan nilai tengah interval)
Pembahasan:
Hitung nilai tengah untuk setiap interval:
- 150 – 154: Nilai tengah = $frac150+1542 = 152$
- 155 – 159: Nilai tengah = $frac155+1592 = 157$
- 160 – 164: Nilai tengah = $frac160+1642 = 162$
- 165 – 169: Nilai tengah = $frac165+1692 = 167$
- 170 – 174: Nilai tengah = $frac170+1742 = 172$
Jumlah seluruh data = $3 + 5 + 7 + 4 + 1 = 20$ data.
Karena jumlah data genap (20), median terletak pada data ke-$frac202 = 10$ dan data ke-$frac202 + 1 = 11$.
| Sekarang kita hitung frekuensi kumulatif: | Tinggi Badan (cm) | Nilai Tengah | Frekuensi | Frekuensi Kumulatif |
|---|---|---|---|---|
| 150 – 154 | 152 | 3 | 3 | |
| 155 – 159 | 157 | 5 | $3+5 = 8$ | |
| 160 – 164 | 162 | 7 | $8+7 = 15$ | |
| 165 – 169 | 167 | 4 | $15+4 = 19$ | |
| 170 – 174 | 172 | 1 | $19+1 = 20$ |
Data ke-10 dan ke-11 berada pada interval 160 – 164, yang memiliki nilai tengah 162 cm.
Jadi, median dari data tersebut adalah 162 cm.
Tips Jitu Menguasai Matematika Kelas 8 Semester 2:
- Pahami Konsep Dasar: Jangan terburu-buru mengerjakan soal tanpa memahami konsep di baliknya.
- Latihan Rutin: Matematika adalah keterampilan yang perlu dilatih. Kerjakan soal-soal latihan secara teratur.
- Variasikan Soal: Coba kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang.
- Manfaatkan Sumber Belajar: Buku paket, buku latihan, internet, video pembelajaran, dan diskusi dengan teman adalah sumber belajar yang berharga.
- Jangan Takut Bertanya: Jika ada materi atau soal yang tidak dipahami, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman.
- Buat Catatan Rangkuman: Buatlah rangkuman rumus-rumus penting dan konsep-konsep kunci untuk memudahkan Anda mengingat.
- Simulasikan Ujian: Cobalah mengerjakan soal-soal dalam batas waktu tertentu untuk melatih kecepatan dan ketepatan.
Semester 2 kelas 8 SMP memang penuh tantangan, namun dengan strategi belajar yang tepat dan kemauan keras, Anda pasti dapat meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar dan semoga sukses!