Geometri, khususnya materi garis dan sudut, merupakan salah satu fondasi penting dalam matematika. Memahami konsep-konsep dasar ini tidak hanya membantu dalam menyelesaikan soal-soal ujian, tetapi juga membuka pintu pemahaman yang lebih luas tentang dunia di sekitar kita yang penuh dengan bentuk dan relasi spasial. Bagi siswa kelas 7 semester 2, materi garis dan sudut menjadi fokus utama yang perlu dikuasai dengan baik.
Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif untuk membantu kalian, para siswa kelas 7, dalam mendalami materi garis dan sudut. Kita akan membahas berbagai jenis soal yang umum muncul, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Diharapkan, setelah membaca dan berlatih dengan contoh-contoh soal ini, kalian akan merasa lebih percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), hingga Penilaian Akhir Semester (PAS) yang berkaitan dengan topik ini.
Memahami Konsep Dasar Garis dan Sudut
Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang konsep-konsep kunci yang mendasari materi ini:
-
Garis: Garis adalah himpunan titik-titik yang memanjang tak terbatas ke dua arah. Dalam konteks geometri bidang, kita sering berbicara tentang segmen garis (bagian garis yang memiliki dua titik ujung) dan sinar garis (bagian garis yang memiliki satu titik ujung dan memanjang tak terbatas ke satu arah).
-
Sudut: Sudut terbentuk ketika dua sinar garis bertemu pada satu titik yang sama, yang disebut titik sudut. Besar sudut diukur dalam satuan derajat (°).
-
Hubungan Antar Sudut:
- Sudut Berpelurus (Sudut 180°): Dua sudut yang jika dijumlahkan membentuk sudut lurus (180°).
- Sudut Berpenyiku (Sudut 90°): Dua sudut yang jika dijumlahkan membentuk sudut siku-siku (90°).
- Sudut Bertolak Belakang: Dua sudut yang terbentuk dari perpotongan dua garis lurus dan posisinya saling berhadapan. Sudut bertolak belakang memiliki besar yang sama.
- Sudut yang Membentuk Garis: Jika beberapa sudut membentuk satu garis lurus, maka jumlah besar sudut-sudut tersebut adalah 180°.
-
Hubungan Antar Garis:
- Garis Sejajar: Dua garis dikatakan sejajar jika keduanya berada pada bidang yang sama dan tidak pernah berpotongan, meskipun diperpanjang tak terhingga.
- Garis Berpotongan: Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya memiliki satu titik persekutuan.
- Garis Tegak Lurus: Dua garis dikatakan tegak lurus jika keduanya berpotongan dan membentuk sudut siku-siku (90°).
-
Garis Sejajar yang Dipotong oleh Garis Transversal: Ketika sebuah garis (garis transversal) memotong dua garis sejajar, akan terbentuk pasangan-pasangan sudut dengan hubungan khusus:
- Sudut Sehadap: Sudut-sudut yang berada pada sisi yang sama dari garis transversal dan salah satunya berada di antara dua garis sejajar, sedangkan yang lainnya berada di luar. Sudut sehadap memiliki besar yang sama.
- Sudut Dalam Berseberangan: Sudut-sudut yang berada di antara dua garis sejajar dan berseberangan sisi terhadap garis transversal. Sudut dalam berseberangan memiliki besar yang sama.
- Sudut Luar Berseberangan: Sudut-sudut yang berada di luar dua garis sejajar dan berseberangan sisi terhadap garis transversal. Sudut luar berseberangan memiliki besar yang sama.
- Sudut Dalam Sepihak: Sudut-sudut yang berada di antara dua garis sejajar dan berada pada sisi yang sama terhadap garis transversal. Jumlah sudut dalam sepihak adalah 180°.
- Sudut Luar Sepihak: Sudut-sudut yang berada di luar dua garis sejajar dan berada pada sisi yang sama terhadap garis transversal. Jumlah sudut luar sepihak adalah 180°.
Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Mari kita selami berbagai tipe soal yang sering dijumpai:
Tipe Soal 1: Menghitung Besar Sudut Berdasarkan Hubungan Antar Sudut
Soal 1.1: Perhatikan gambar berikut. Jika besar $angle AOB = 70^circ$, tentukan besar $angle BOC$ jika A, O, dan C membentuk garis lurus.
(Gambar: Tiga sinar garis OA, OB, OC yang membentuk sudut AOB dan BOC di titik O, dengan OA dan OC membentuk garis lurus)
Pembahasan:
Karena A, O, dan C membentuk garis lurus, maka $angle AOC$ adalah sudut lurus yang besarnya 180°. Sudut $angle AOC$ terbentuk dari penjumlahan $angle AOB$ dan $angle BOC$.
Jadi, $angle AOC = angle AOB + angle BOC$.
Kita substitusikan nilai yang diketahui:
$180^circ = 70^circ + angle BOC$.
Untuk mencari $angle BOC$, kita kurangi 180° dengan 70°:
$angle BOC = 180^circ – 70^circ$
$angle BOC = 110^circ$.
Soal 1.2: Dua garis berpotongan di titik P membentuk empat sudut. Jika salah satu sudut yang terbentuk berukuran $120^circ$, tentukan besar ketiga sudut lainnya.
(Gambar: Dua garis berpotongan di P, membentuk sudut-sudut berurutan.)
Pembahasan:
Misalkan keempat sudut yang terbentuk adalah $angle 1, angle 2, angle 3, angle 4$ secara berurutan mengelilingi titik P. Misalkan $angle 1 = 120^circ$.
- Sudut Bertolak Belakang: $angle 1$ bertolak belakang dengan $angle 3$. Maka, $angle 3 = angle 1 = 120^circ$.
- Sudut Berpelurus: $angle 1$ berpelurus dengan $angle 2$. Maka, $angle 1 + angle 2 = 180^circ$.
$120^circ + angle 2 = 180^circ$
$angle 2 = 180^circ – 120^circ$
$angle 2 = 60^circ$. - Sudut Bertolak Belakang: $angle 2$ bertolak belakang dengan $angle 4$. Maka, $angle 4 = angle 2 = 60^circ$.
Jadi, besar ketiga sudut lainnya adalah $120^circ$, $60^circ$, dan $60^circ$.
Soal 1.3: Pada gambar di bawah, $angle PQR$ adalah sudut siku-siku. Jika $angle PQS = 35^circ$, tentukan besar $angle SQR$.
(Gambar: Dua sinar garis QS dan SR yang berasal dari titik Q, membentuk sudut PQS dan SQR, dengan PQ dan QR membentuk sudut siku-siku.)
Pembahasan:
Karena $angle PQR$ adalah sudut siku-siku, maka besarnya adalah $90^circ$. Sudut $angle PQR$ tersusun dari $angle PQS$ dan $angle SQR$.
Maka, $angle PQR = angle PQS + angle SQR$.
Kita substitusikan nilai yang diketahui:
$90^circ = 35^circ + angle SQR$.
Untuk mencari $angle SQR$, kita kurangi 90° dengan 35°:
$angle SQR = 90^circ – 35^circ$
$angle SQR = 55^circ$.
Tipe Soal 2: Garis Sejajar yang Dipotong Garis Transversal
Soal 2.1: Perhatikan gambar di mana garis $l$ sejajar dengan garis $m$, dan garis $n$ adalah garis transversal. Jika besar salah satu sudut dalam berseberangan adalah $75^circ$, tentukan besar sudut-sudut lainnya yang dibentuk oleh perpotongan garis $n$ dengan garis $l$ dan $m$.
(Gambar: Dua garis sejajar l dan m, dipotong oleh garis transversal n. Tunjukkan salah satu sudut dalam berseberangan.)
Pembahasan:
Misalkan garis $l$ dan $m$ sejajar, dan garis $n$ memotong keduanya. Perpotongan garis $n$ dengan garis $l$ membentuk empat sudut, dan perpotongan dengan garis $m$ juga membentuk empat sudut. Terdapat delapan sudut total.
Jika salah satu sudut dalam berseberangan adalah $75^circ$, mari kita identifikasi pasangan-pasangan sudutnya:
- Sudut Dalam Berseberangan: Memiliki besar yang sama. Jika salah satunya $75^circ$, maka pasangannya juga $75^circ$.
- Sudut Sehadap: Memiliki besar yang sama. Akan ada empat pasang sudut sehadap. Jika satu sudut dalam berseberangan adalah $75^circ$, maka sudut sehadapnya (yang juga merupakan sudut dalam berseberangan pasangannya) juga $75^circ$.
- Sudut Luar Berseberangan: Memiliki besar yang sama.
- Sudut Dalam Sepihak: Jumlahnya $180^circ$.
- Sudut Luar Sepihak: Jumlahnya $180^circ$.
Mari kita gunakan sifat-sifat ini. Misalkan salah satu sudut dalam berseberangan adalah $angle A = 75^circ$. Maka, sudut dalam berseberangan pasangannya adalah $angle B = 75^circ$.
Sudut yang berpelurus dengan $angle A$ adalah $angle C$. Maka $angle C = 180^circ – 75^circ = 105^circ$.
Sudut yang bertolak belakang dengan $angle A$ adalah $angle D$. Maka $angle D = angle A = 75^circ$.
Sudut yang bertolak belakang dengan $angle C$ adalah $angle E$. Maka $angle E = angle C = 105^circ$.
Karena garis $l$ sejajar dengan garis $m$, maka:
- Sudut sehadap dengan $angle A$ (di garis $m$) juga $75^circ$.
- Sudut sehadap dengan $angle C$ (di garis $m$) juga $105^circ$.
- Sudut dalam berseberangan dengan $angle A$ (di garis $m$) juga $75^circ$.
- Sudut dalam berseberangan dengan $angle C$ (di garis $m$) juga $105^circ$.
Jadi, dari delapan sudut yang terbentuk, akan ada empat sudut berukuran $75^circ$ dan empat sudut berukuran $105^circ$.
Soal 2.2: Pada gambar, diketahui garis AB sejajar dengan garis CD. Garis EF memotong AB di G dan memotong CD di H. Jika besar $angle AGE = 110^circ$, tentukan besar $angle CHG$.
(Gambar: Garis AB sejajar CD, dipotong garis EF di G dan H. Sudut AGE ditunjukkan.)
Pembahasan:
Kita tahu bahwa AB sejajar dengan CD, dan EF adalah garis transversal.
Besar $angle AGE = 110^circ$.
- $angle AGE$ dan $angle BGE$ adalah sudut berpelurus, jadi $angle BGE = 180^circ – 110^circ = 70^circ$.
- $angle AGE$ dan $angle BGH$ adalah sudut dalam berseberangan, tetapi ini salah, mereka bukan dalam berseberangan.
- $angle AGE$ dan $angle BGE$ berpelurus.
- $angle AGE$ dan $angle BGH$ bertolak belakang. Ini juga salah.
Mari kita gunakan hubungan yang benar:
- $angle AGE$ dan $angle EGB$ berpelurus, jadi $angle EGB = 180^circ – 110^circ = 70^circ$.
- $angle AGE$ dan $angle BGH$ bertolak belakang. Ini juga salah.
Kita kembali ke soal. Kita perlu mencari $angle CHG$.
Perhatikan bahwa $angle AGE$ dan $angle GHC$ adalah sudut dalam sepihak.
Ah, maaf, $angle AGE$ adalah sudut luar.
Mari kita identifikasi hubungan antara $angle AGE$ dan sudut-sudut di titik H.
- $angle AGE$ dan $angle CHG$ adalah sudut luar sepihak. Ini juga salah.
Mari kita gunakan sudut sehadap atau dalam berseberangan terlebih dahulu.
$angle AGE = 110^circ$.
- Sudut sehadap dengan $angle AGE$ adalah $angle CHG$. Ini salah.
- Sudut sehadap dengan $angle AGE$ adalah $angle CHF$.
Jadi, $angle CHF = angle AGE = 110^circ$. - $angle CHG$ dan $angle CHF$ adalah sudut berpelurus.
Maka, $angle CHG = 180^circ – angle CHF$
$angle CHG = 180^circ – 110^circ$
$angle CHG = 70^circ$.
Alternatif Pembahasan:
- $angle AGE = 110^circ$.
- Sudut dalam berseberangan dengan $angle AGE$ adalah $angle BGH$. Ini salah.
- Sudut dalam berseberangan dengan $angle AGE$ adalah $angle GHD$. Ini salah.
Mari kita cari sudut lain yang lebih mudah dihubungkan.
$angle AGE = 110^circ$.
Sudut yang bertolak belakang dengan $angle AGE$ adalah $angle BGH$. Jadi, $angle BGH = 110^circ$.
Sudut $angle BGH$ dan $angle CHG$ adalah sudut dalam sepihak.
Jumlah sudut dalam sepihak adalah $180^circ$.
Jadi, $angle BGH + angle CHG = 180^circ$.
$110^circ + angle CHG = 180^circ$.
$angle CHG = 180^circ – 110^circ$.
$angle CHG = 70^circ$.
Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu $70^circ$.
Soal 2.3: Dua garis sejajar $p$ dan $q$ dipotong oleh garis transversal $t$. Jika salah satu sudut yang dibentuk adalah $x^circ$ dan sudut lain yang bersebelahan di garis yang sama adalah $(2x – 30)^circ$, tentukan nilai $x$ dan besar kedua sudut tersebut.
Pembahasan:
Sudut yang bersebelahan di garis yang sama membentuk sudut berpelurus, yang besarnya $180^circ$.
Jadi, $x^circ + (2x – 30)^circ = 180^circ$.
$x + 2x – 30 = 180$.
$3x – 30 = 180$.
$3x = 180 + 30$.
$3x = 210$.
$x = frac2103$.
$x = 70$.
Jadi, nilai $x$ adalah 70.
Besar sudut pertama adalah $x^circ = 70^circ$.
Besar sudut kedua adalah $(2x – 30)^circ = (2 times 70 – 30)^circ = (140 – 30)^circ = 110^circ$.
Kita cek: $70^circ + 110^circ = 180^circ$. Benar.
Tipe Soal 3: Kombinasi Konsep dan Aplikasi
Soal 3.1: Dalam sebuah segitiga ABC, besar $angle ABC = 50^circ$ dan $angle BAC = 60^circ$. Jika sebuah garis ditarik dari titik C sejajar dengan AB, dan titik D berada pada garis tersebut di sebelah kanan titik C, tentukan besar $angle BCD$.
(Gambar: Segitiga ABC. Garis melalui C sejajar AB, dengan titik D di sisi kanan C.)
Pembahasan:
Kita tahu bahwa garis CD sejajar dengan garis AB. Garis BC adalah garis transversal yang memotong kedua garis sejajar tersebut.
Perhatikan sudut $angle ABC$ dan $angle BCD$. Kedua sudut ini adalah sudut dalam berseberangan jika kita melihat garis AB dan CD dipotong oleh garis BC.
Oleh karena itu, besar $angle ABC$ sama dengan besar $angle BCD$.
Diketahui $angle ABC = 50^circ$.
Maka, $angle BCD = 50^circ$.
Soal 3.2: Dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis transversal. Salah satu sudut yang terbentuk adalah $4y^circ$. Sudut yang bersebelahan dengan sudut tersebut adalah $3y^circ$. Tentukan besar sudut-sudut yang terbentuk.
Pembahasan:
Sudut yang bersebelahan di garis yang sama membentuk sudut berpelurus.
Maka, $4y^circ + 3y^circ = 180^circ$.
$7y = 180$.
$y = frac1807$.
Nilai $y$ ini mungkin tidak menghasilkan bilangan bulat yang mudah, namun kita tetap bisa menghitung besar sudutnya.
Besar sudut pertama = $4y^circ = 4 times frac1807^circ = frac7207^circ$.
Besar sudut kedua = $3y^circ = 3 times frac1807^circ = frac5407^circ$.
Cek: $frac7207^circ + frac5407^circ = frac12607^circ = 180^circ$.
Setelah mendapatkan dua sudut awal, kita bisa menentukan kedelapan sudut yang terbentuk dengan menggunakan sifat-sifat sudut sehadap, dalam berseberangan, dll.
Akan ada empat sudut yang besarnya $frac7207^circ$ dan empat sudut yang besarnya $frac5407^circ$.
Soal 3.3: Perhatikan gambar di mana terdapat tiga garis yang berpotongan di satu titik O. Jika besar $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, dan $angle COD = 80^circ$, tentukan besar $angle DOE$ dan $angle EOF$.
(Gambar: Enam sinar garis OA, OB, OC, OD, OE, OF yang berasal dari titik O, membentuk sudut-sudut yang berdekatan.)
Pembahasan:
Total besar sudut yang mengelilingi satu titik adalah $360^circ$.
Jadi, $angle AOB + angle BOC + angle COD + angle DOE + angle EOF + angle FOA = 360^circ$.
Kita diberi nilai $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, dan $angle COD = 80^circ$.
Kita perlu mencari $angle DOE$ dan $angle EOF$.
Namun, soal ini tampaknya memiliki informasi yang berlebih atau ada bagian yang kurang jelas tanpa gambar yang tepat, terutama mengenai posisi sinar OF dan hubungannya dengan OA.
Asumsikan bahwa A, O, F membentuk garis lurus, dan C, O, E membentuk garis lurus. Ini adalah asumsi umum jika tidak ada keterangan lain.
Jika A, O, F membentuk garis lurus, maka $angle AOF = 180^circ$.
Jika C, O, E membentuk garis lurus, maka $angle COE = 180^circ$.
Mari kita analisis ulang berdasarkan asumsi umum:
Sudut-sudut yang diketahui: $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, $angle COD = 80^circ$.
Total sudut yang diketahui = $90^circ + 110^circ + 80^circ = 280^circ$.
Sisa sudut untuk melengkapi $360^circ$ adalah $360^circ – 280^circ = 80^circ$.
Sisa sudut ini adalah $angle DOE + angle EOF$.
Jika kita asumsikan A, O, F adalah garis lurus, maka $angle AOF = 180^circ$.
$angle AOF$ terdiri dari $angle AOB + angle BOC + angle COF$.
$180^circ = 90^circ + 110^circ + angle COF$.
$180^circ = 200^circ + angle COF$. Ini menghasilkan nilai negatif, yang tidak mungkin.
Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan urutan sinar yang berdekatan dan kita perlu menemukan sudut yang tersisa untuk melengkapi 360°.
Jika kita hanya memiliki $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, $angle COD = 80^circ$, dan ingin mencari $angle DOE$ dan $angle EOF$, kita perlu hubungan tambahan.
Mari kita perbaiki asumsi soal 3.3:
Jika ada enam sinar garis OA, OB, OC, OD, OE, OF yang berputar mengelilingi titik O, dan kita diberikan $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, $angle COD = 80^circ$. Dan kita ingin mencari $angle DOE$ dan $angle EOF$. Kita tidak bisa menentukan keduanya secara terpisah hanya dengan informasi ini karena ada dua variabel yang tidak diketahui.
Revisi Soal 3.3 untuk Solusi yang Jelas:
Misalkan titik-titik A, B, C, D, E, F terletak berurutan mengelilingi titik O, membentuk sudut-sudut.
Jika $angle AOB = 90^circ$, $angle BOC = 110^circ$, $angle COD = 80^circ$. Tentukan besar $angle DOE$ dan $angle EOF$ jika $angle AOF = 30^circ$.
Pembahasan Revisi Soal 3.3:
Total besar sudut mengelilingi titik O adalah $360^circ$.
$angle AOB + angle BOC + angle COD + angle DOE + angle EOF + angle FOA = 360^circ$.
Kita substitusikan nilai yang diketahui:
$90^circ + 110^circ + 80^circ + angle DOE + angle EOF + 30^circ = 360^circ$.
$310^circ + angle DOE + angle EOF = 360^circ$.
$angle DOE + angle EOF = 360^circ – 310^circ$.
$angle DOE + angle EOF = 50^circ$.
Dengan informasi ini, kita masih tidak bisa menentukan $angle DOE$ dan $angle EOF$ secara terpisah, hanya jumlahnya.
Untuk bisa menentukan nilai masing-masing, kita butuh satu informasi lagi, misalnya hubungan antara $angle DOE$ dan $angle EOF$, atau salah satu nilai sudutnya.
Contoh Soal Tambahan yang Lebih Umum dan Dapat Diselesaikan:
Soal 4.1: Dua garis sejajar dipotong oleh garis transversal. Sudut dalam sepihak adalah $(3x+5)^circ$ dan $(2x+15)^circ$. Tentukan nilai $x$.
Pembahasan:
Sudut dalam sepihak berjumlah $180^circ$.
$(3x+5)^circ + (2x+15)^circ = 180^circ$.
$3x + 5 + 2x + 15 = 180$.
$5x + 20 = 180$.
$5x = 180 – 20$.
$5x = 160$.
$x = frac1605$.
$x = 32$.
Soal 4.2: Pada gambar, garis $m parallel n$. Sudut sehadap berukuran $(5a-10)^circ$ dan $(3a+30)^circ$. Tentukan nilai $a$.
(Gambar: Garis m sejajar n, dipotong transversal. Tunjukkan satu pasang sudut sehadap.)
Pembahasan:
Sudut sehadap memiliki besar yang sama.
$(5a-10)^circ = (3a+30)^circ$.
$5a – 10 = 3a + 30$.
$5a – 3a = 30 + 10$.
$2a = 40$.
$a = frac402$.
$a = 20$.
Penutup
Mempelajari garis dan sudut memang membutuhkan ketelitian dan pemahaman terhadap berbagai jenis hubungan antar sudut dan garis. Kumpulan contoh soal ini diharapkan dapat menjadi bekal berharga bagi kalian dalam menguasai materi ini. Ingatlah untuk selalu menggambar sketsa atau diagram sesuai soal untuk memvisualisasikan hubungan antar sudut dan garis. Jangan ragu untuk mengulang kembali konsep-konsep dasar jika dirasa perlu. Latihan yang konsisten adalah kunci keberhasilan. Selamat belajar dan semoga sukses!