Fungsi adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang akan menemani siswa hingga jenjang pendidikan tinggi. Di Kelas X Semester 2, pemahaman tentang fungsi semakin diperdalam, mencakup berbagai jenisnya, operasi pada fungsi, hingga penerapannya dalam menyelesaikan masalah. Artikel ini akan menyajikan serangkaian contoh soal fungsi SMA Kelas X Semester 2 yang bervariasi, disertai dengan penjelasan mendalam untuk membantu siswa menguasai materi ini.
Apa Itu Fungsi? Mengingat Kembali Konsep Dasar
Sebelum melangkah ke soal-soal yang lebih kompleks, mari kita ingat kembali definisi fungsi. Sebuah fungsi adalah relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B, di mana setiap elemen di himpunan A (domain) berpasangan dengan tepat satu elemen di himpunan B (kodomain). Himpunan pasangan elemen di B yang terhubung dengan domain disebut range atau daerah hasil.
Kita sering merepresentasikan fungsi dengan notasi seperti $f(x) = dots$, di mana $x$ adalah variabel independen (elemen dari domain) dan $f(x)$ adalah nilai fungsi (elemen dari kodomain/range).
Jenis-Jenis Fungsi yang Perlu Dikuasai
Di kelas X semester 2, siswa biasanya akan diperkenalkan dengan beberapa jenis fungsi, antara lain:
- Fungsi Linear: Fungsi dengan bentuk umum $f(x) = ax + b$, di mana $a$ dan $b$ adalah konstanta, dan $a neq 0$. Grafiknya berupa garis lurus.
- Fungsi Kuadrat: Fungsi dengan bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a, b, c$ adalah konstanta, dan $a neq 0$. Grafiknya berupa parabola.
- Fungsi Rasional: Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua fungsi polinomial, $f(x) = fracP(x)Q(x)$, di mana $Q(x) neq 0$.
- Fungsi Komposisi: Fungsi yang dibentuk dari penggabungan dua fungsi atau lebih, $f(g(x))$.
- Fungsi Invers: Fungsi yang membalikkan pemetaan dari suatu fungsi.
Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Mari kita bedah beberapa contoh soal yang mencakup konsep-konsep di atas.
Contoh Soal 1: Menentukan Nilai Fungsi dan Domain/Range
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$.
a. Tentukan nilai $f(3)$ dan $f(-1)$.
b. Jika domain fungsi $f$ adalah $x in mathbbR mid -2 le x le 4$, tentukan range dari fungsi $f$.
Pembahasan:
a. Menentukan Nilai Fungsi:
Untuk menentukan nilai $f(3)$, kita substitusikan $x=3$ ke dalam persamaan fungsi:
$f(3) = 2(3)^2 – 3(3) + 1$
$f(3) = 2(9) – 9 + 1$
$f(3) = 18 – 9 + 1$
$f(3) = 10$
Untuk menentukan nilai $f(-1)$, kita substitusikan $x=-1$ ke dalam persamaan fungsi:
$f(-1) = 2(-1)^2 – 3(-1) + 1$
$f(-1) = 2(1) – (-3) + 1$
$f(-1) = 2 + 3 + 1$
$f(-1) = 6$
b. Menentukan Range Fungsi Kuadrat pada Interval Tertutup:
Fungsi $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$ adalah fungsi kuadrat. Grafiknya adalah parabola yang terbuka ke atas karena koefisien $x^2$ (yaitu $a=2$) bernilai positif.
Domain yang diberikan adalah interval tertutup $$. Untuk mencari range pada interval ini, kita perlu mempertimbangkan tiga hal:
- Nilai fungsi di titik ujung domain: $f(-2)$ dan $f(4)$.
- Nilai fungsi di titik puncak parabola, jika titik puncak tersebut berada di dalam domain.
Pertama, kita cari koordinat titik puncak parabola. Rumus absis (nilai $x$) dari titik puncak adalah $x_p = frac-b2a$.
Dalam fungsi $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$, kita punya $a=2$ dan $b=-3$.
$x_p = frac-(-3)2(2) = frac34$.
Karena $x_p = frac34$ berada di dalam interval domain $$, maka nilai minimum fungsi pada interval ini akan dicapai di titik puncak.
Nilai minimum fungsi di titik puncak adalah:
$f(frac34) = 2(frac34)^2 – 3(frac34) + 1$
$f(frac34) = 2(frac916) – frac94 + 1$
$f(frac34) = frac1816 – frac94 + 1$
$f(frac34) = frac98 – frac188 + frac88$
$f(frac34) = frac9 – 18 + 88 = frac-18$
Selanjutnya, kita hitung nilai fungsi di titik-titik ujung domain:
$f(-2) = 2(-2)^2 – 3(-2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$.
$f(4) = 2(4)^2 – 3(4) + 1 = 2(16) – 12 + 1 = 32 – 12 + 1 = 21$.
Karena parabola terbuka ke atas, nilai minimum adalah $f(frac34) = -frac18$ dan nilai maksimum akan dicapai di salah satu titik ujung domain yang paling jauh dari titik puncak. Dalam kasus ini, $f(4) = 21$ lebih besar dari $f(-2) = 15$.
Jadi, nilai minimum fungsi pada domain $$ adalah $-frac18$ dan nilai maksimumnya adalah $21$.
Range dari fungsi $f$ pada domain tersebut adalah $y in mathbbR mid -frac18 le y le 21$.
Contoh Soal 2: Operasi pada Fungsi (Penjumlahan dan Perkalian)
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = x + 2$ dan $g(x) = 3x – 1$. Tentukan:
a. $(f+g)(x)$
b. $(f cdot g)(x)$
c. $(f+g)(2)$
d. $(f cdot g)(-1)$
Pembahasan:
a. Penjumlahan Fungsi $(f+g)(x)$:
Operasi penjumlahan fungsi didefinisikan sebagai $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$.
$(f+g)(x) = (x + 2) + (3x – 1)$
$(f+g)(x) = x + 2 + 3x – 1$
$(f+g)(x) = (x + 3x) + (2 – 1)$
$(f+g)(x) = 4x + 1$
b. Perkalian Fungsi $(f cdot g)(x)$:
Operasi perkalian fungsi didefinisikan sebagai $(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$.
$(f cdot g)(x) = (x + 2) cdot (3x – 1)$
Untuk mengalikan dua binomial, kita gunakan metode FOIL (First, Outer, Inner, Last) atau distributif:
$(f cdot g)(x) = x(3x) + x(-1) + 2(3x) + 2(-1)$
$(f cdot g)(x) = 3x^2 – x + 6x – 2$
$(f cdot g)(x) = 3x^2 + 5x – 2$
c. Menentukan Nilai $(f+g)(2)$:
Kita bisa menggunakan hasil dari $(f+g)(x)$ yang telah kita dapatkan di bagian a:
$(f+g)(2) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9$.
Atau, kita bisa menghitung nilai $f(2)$ dan $g(2)$ terlebih dahulu, lalu menjumlahkannya:
$f(2) = 2 + 2 = 4$
$g(2) = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5$
$(f+g)(2) = f(2) + g(2) = 4 + 5 = 9$.
d. Menentukan Nilai $(f cdot g)(-1)$:
Kita bisa menggunakan hasil dari $(f cdot g)(x)$ yang telah kita dapatkan di bagian b:
$(f cdot g)(-1) = 3(-1)^2 + 5(-1) – 2$
$(f cdot g)(-1) = 3(1) – 5 – 2$
$(f cdot g)(-1) = 3 – 5 – 2$
$(f cdot g)(-1) = -4$.
Atau, kita bisa menghitung nilai $f(-1)$ dan $g(-1)$ terlebih dahulu, lalu mengalikannya:
$f(-1) = -1 + 2 = 1$
$g(-1) = 3(-1) – 1 = -3 – 1 = -4$
$(f cdot g)(-1) = f(-1) cdot g(-1) = 1 cdot (-4) = -4$.
Contoh Soal 3: Fungsi Komposisi
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = 2x – 3$. Tentukan:
a. $(f circ g)(x)$
b. $(g circ f)(x)$
c. $(f circ g)(2)$
Pembahasan:
a. Fungsi Komposisi $(f circ g)(x)$:
Notasi $(f circ g)(x)$ dibaca "f komposisi g dari x", yang berarti kita memasukkan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Kita substitusikan bentuk $g(x)$ ke dalam $x$ pada fungsi $f(x)$:
$f(x) = x^2 + 1$
$g(x) = 2x – 3$
$(f circ g)(x) = f(2x – 3)$
$(f circ g)(x) = (2x – 3)^2 + 1$
Sekarang, kita ekspansi $(2x – 3)^2$:
$(2x – 3)^2 = (2x)^2 – 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 – 12x + 9$
Jadi, $(f circ g)(x) = (4x^2 – 12x + 9) + 1$
$(f circ g)(x) = 4x^2 – 12x + 10$
b. Fungsi Komposisi $(g circ f)(x)$:
Notasi $(g circ f)(x)$ dibaca "g komposisi f dari x", yang berarti kita memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Kita substitusikan bentuk $f(x)$ ke dalam $x$ pada fungsi $g(x)$:
$g(x) = 2x – 3$
$f(x) = x^2 + 1$
$(g circ f)(x) = g(x^2 + 1)$
$(g circ f)(x) = 2(x^2 + 1) – 3$
$(g circ f)(x) = 2x^2 + 2 – 3$
$(g circ f)(x) = 2x^2 – 1$
Perhatikan bahwa $(f circ g)(x)$ umumnya tidak sama dengan $(g circ f)(x)$.
c. Menentukan Nilai $(f circ g)(2)$:
Kita bisa menggunakan hasil dari $(f circ g)(x)$ yang telah kita dapatkan di bagian a:
$(f circ g)(2) = 4(2)^2 – 12(2) + 10$
$(f circ g)(2) = 4(4) – 24 + 10$
$(f circ g)(2) = 16 – 24 + 10$
$(f circ g)(2) = 2$
Atau, kita bisa menghitung nilai $g(2)$ terlebih dahulu, lalu memasukkannya ke $f$:
$g(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1$
$(f circ g)(2) = f(g(2)) = f(1)$
$f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Contoh Soal 4: Fungsi Invers
Soal:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 5$. Tentukan:
a. Fungsi invers dari $f(x)$, yaitu $f^-1(x)$.
b. Nilai $f^-1(7)$.
Pembahasan:
a. Menentukan Fungsi Invers $f^-1(x)$:
Untuk mencari fungsi invers, kita ikuti langkah-langkah berikut:
- Ganti notasi $f(x)$ dengan $y$.
$y = 3x – 5$ - Tukar variabel $x$ dan $y$.
$x = 3y – 5$ - Selesaikan persamaan untuk $y$ dalam bentuk $x$.
$x + 5 = 3y$
$y = fracx+53$ - Ganti $y$ dengan notasi $f^-1(x)$.
$f^-1(x) = fracx+53$
b. Menentukan Nilai $f^-1(7)$:
Kita substitusikan $x=7$ ke dalam rumus fungsi invers yang telah kita temukan:
$f^-1(7) = frac7+53$
$f^-1(7) = frac123$
$f^-1(7) = 4$
Kita bisa memeriksa jawaban ini dengan menghitung $f(4)$. Jika $f(4)=7$, maka $f^-1(7)=4$ sudah benar.
$f(4) = 3(4) – 5 = 12 – 5 = 7$. Benar.
Contoh Soal 5: Penerapan Fungsi dalam Konteks Nyata
Soal:
Sebuah perusahaan memproduksi kaos. Biaya produksi untuk $x$ unit kaos dinyatakan dalam fungsi biaya $C(x) = 10.000.000 + 50.000x$ (dalam Rupiah), di mana $10.000.000$ adalah biaya tetap dan $50.000$ adalah biaya variabel per unit. Jika setiap kaos dijual dengan harga $150.000$, maka fungsi pendapatan $R(x)$ dapat dinyatakan sebagai $R(x) = 150.000x$.
a. Tentukan fungsi keuntungan $P(x)$.
b. Berapa keuntungan perusahaan jika memproduksi dan menjual 200 unit kaos?
c. Berapa unit kaos yang harus dijual agar perusahaan tidak mengalami kerugian (titik impas)?
Pembahasan:
a. Menentukan Fungsi Keuntungan $P(x)$:
Keuntungan dihitung dari selisih antara pendapatan dan biaya.
$P(x) = R(x) – C(x)$
$P(x) = (150.000x) – (10.000.000 + 50.000x)$
$P(x) = 150.000x – 10.000.000 – 50.000x$
$P(x) = (150.000x – 50.000x) – 10.000.000$
$P(x) = 100.000x – 10.000.000$
b. Menghitung Keuntungan untuk 200 Unit Kaos:
Kita substitusikan $x=200$ ke dalam fungsi keuntungan $P(x)$:
$P(200) = 100.000(200) – 10.000.000$
$P(200) = 20.000.000 – 10.000.000$
$P(200) = 10.000.000$
Jadi, keuntungan perusahaan jika memproduksi dan menjual 200 unit kaos adalah Rp 10.000.000.
c. Menentukan Titik Impas:
Titik impas terjadi ketika keuntungan adalah nol ($P(x) = 0$), atau ketika pendapatan sama dengan biaya ($R(x) = C(x)$).
Kita gunakan $P(x) = 0$:
$100.000x – 10.000.000 = 0$
$100.000x = 10.000.000$
$x = frac10.000.000100.000$
$x = 100$
Jadi, perusahaan harus menjual 100 unit kaos agar mencapai titik impas (tidak mengalami kerugian maupun keuntungan).
Tips Sukses Memahami Fungsi:
- Pahami Definisi: Selalu kembali ke definisi dasar fungsi agar tidak tersesat.
- Visualisasi Grafis: Cobalah menggambar grafik fungsi yang Anda pelajari. Ini membantu memahami perilaku fungsi.
- Latihan Rutin: Kunci utama adalah latihan. Kerjakan berbagai jenis soal untuk memperkuat pemahaman.
- Hubungkan dengan Dunia Nyata: Cari contoh penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Ini membuat belajar lebih bermakna.
- Jangan Ragu Bertanya: Jika ada konsep yang belum jelas, tanyakan kepada guru atau teman.
Menguasai konsep fungsi adalah investasi berharga untuk studi matematika selanjutnya. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam, siswa Kelas X pasti dapat menghadapi berbagai soal fungsi dengan percaya diri.