Fungsi trigonometri, bagi sebagian siswa kelas 11, mungkin terasa seperti sebuah misteri yang rumit. Namun, di balik sinyal, kosinus, dan tangen yang membingungkan, tersembunyi sebuah dunia matematis yang kaya, penuh dengan pola, amplitudo, dan pergeseran yang memvisualisasikan berbagai fenomena alam, mulai dari gelombang suara hingga pergerakan planet. Salah satu bentuk fungsi trigonometri yang sering menjadi fokus pembelajaran adalah fungsi sinus, terutama ketika mengalami transformasi.
Artikel ini akan mengajak Anda untuk mendalami salah satu contoh fungsi sinus yang umum dijumpai pada jenjang kelas 11, yaitu y = 2 sin(x – 30°). Kita akan membedah setiap komponennya, memahami bagaimana setiap bagian memengaruhi bentuk dan posisi grafik, serta menyajikan berbagai contoh soal yang relevan untuk menguji pemahaman Anda. Dengan pendekatan yang terstruktur dan contoh soal yang variatif, diharapkan pemahaman Anda tentang fungsi trigonometri ini akan semakin kokoh.
Memahami Komponen Fungsi y = 2 sin(x – 30°)
Sebelum kita melangkah ke contoh soal, mari kita bedah terlebih dahulu bentuk umum dari fungsi sinus dan bagaimana setiap komponen dalam persamaan y = 2 sin(x – 30°) memberikan pengaruhnya:
Bentuk umum fungsi sinus adalah:
y = A sin(B(x – C)) + D
Mari kita lihat bagaimana komponen-komponen ini berpadu dalam y = 2 sin(x – 30°):
-
A (Amplitudo):
- Dalam persamaan kita, A = 2.
- Amplitudo menentukan "tinggi" gelombang, yaitu jarak maksimum dari garis tengah (sumbu x) ke puncak atau lembah grafik.
- Amplitudo positif menunjukkan bahwa gelombang dimulai dari sumbu x ke arah positif. Jika A negatif, gelombang akan terbalik secara vertikal.
- Pada y = 2 sin(x – 30°), amplitudo adalah 2. Ini berarti nilai y maksimum yang bisa dicapai adalah 2, dan nilai y minimum adalah -2.
-
B (Faktor Gelombang / Periode):
- Dalam persamaan kita, B = 1 (karena tidak dituliskan secara eksplisit, kita menganggap koefisien x di dalam kurung adalah 1).
- Faktor gelombang ini memengaruhi periode (panjang satu gelombang penuh) dari fungsi. Periode dihitung dengan rumus: Periode = 360° / |B| (dalam derajat) atau Periode = 2π / |B| (dalam radian).
- Pada y = 2 sin(x – 30°), karena B = 1, periode fungsi sinus ini adalah 360° / 1 = 360°. Artinya, satu gelombang penuh akan terulang setiap 360 derajat.
-
C (Pergeseran Horizontal / Fase):
- Dalam persamaan kita, C = 30°. Perlu diingat bahwa bentuk umum adalah (x – C). Jadi, jika persamaannya adalah (x + 30°), maka C = -30°.
- Pergeseran horizontal menentukan ke mana grafik digeser ke kiri atau ke kanan dari posisi aslinya.
- Jika C positif, grafik bergeser ke kanan sejauh C satuan.
- Jika C negatif, grafik bergeser ke kiri sejauh |C| satuan.
- Pada y = 2 sin(x – 30°), karena C = 30°, grafik y = sin(x) digeser ke kanan sejauh 30°.
-
D (Pergeseran Vertikal):
- Dalam persamaan kita, D = 0 (karena tidak ada konstanta yang ditambahkan atau dikurangi di luar fungsi sinus).
- Pergeseran vertikal menentukan ke mana grafik digeser ke atas atau ke bawah.
- Jika D positif, grafik bergeser ke atas sejauh D satuan.
- Jika D negatif, grafik bergeser ke bawah sejauh |D| satuan.
- Pada y = 2 sin(x – 30°), karena D = 0, tidak ada pergeseran vertikal. Garis tengah grafik tetap berada di sumbu x (y = 0).
Memvisualisasikan Grafik y = 2 sin(x – 30°)
Sebelum mengerjakan soal, penting untuk bisa membayangkan bentuk grafiknya. Fungsi dasar y = sin(x) memiliki ciri-ciri:
- Titik potong dengan sumbu y di (0, 0).
- Puncak di (90°, 1).
- Titik potong dengan sumbu x di (180°, 0).
- Lembah di (270°, -1).
- Kembali ke titik awal di (360°, 0).
Sekarang, mari kita terapkan transformasi pada y = 2 sin(x – 30°):
- Amplitudo 2: Puncak akan naik menjadi 2, dan lembah akan turun menjadi -2.
- Pergeseran ke Kanan 30°: Setiap titik pada grafik y = sin(x) akan bergeser 30° ke kanan.
- Titik (0, 0) pada y = sin(x) akan menjadi (30°, 0) pada y = 2 sin(x – 30°).
- Titik (90°, 1) pada y = sin(x) akan menjadi (90° + 30°, 2) = (120°, 2) pada y = 2 sin(x – 30°).
- Titik (180°, 0) pada y = sin(x) akan menjadi (180° + 30°, 0) = (210°, 0) pada y = 2 sin(x – 30°).
- Titik (270°, -1) pada y = sin(x) akan menjadi (270° + 30°, -2) = (300°, -2) pada y = 2 sin(x – 30°).
- Titik (360°, 0) pada y = sin(x) akan menjadi (360° + 30°, 0) = (390°, 0) pada y = 2 sin(x – 30°).
Jadi, grafik y = 2 sin(x – 30°) adalah gelombang sinus yang lebih "tinggi" (amplitudo 2) dan dimulai pergeseran fasenya dari 30° ke kanan, bukan dari 0°.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita selesaikan beberapa contoh soal yang menguji pemahaman kita tentang fungsi y = 2 sin(x – 30°).
Soal 1: Menentukan Nilai Fungsi pada Titik Tertentu
Soal: Tentukan nilai y jika x = 60° pada fungsi y = 2 sin(x – 30°).
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai y, kita cukup substitusikan nilai x = 60° ke dalam persamaan.
y = 2 sin(x – 30°)
y = 2 sin(60° – 30°)
y = 2 sin(30°)
Kita tahu bahwa nilai sin(30°) adalah 1/2.
y = 2 * (1/2)
y = 1
Jadi, ketika x = 60°, nilai y adalah 1.
Soal 2: Menentukan Titik Potong dengan Sumbu X
Soal: Tentukan koordinat titik potong grafik y = 2 sin(x – 30°) dengan sumbu X untuk interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Pembahasan:
Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika nilai y = 0.
Jadi, kita harus menyelesaikan persamaan:
0 = 2 sin(x – 30°)
Untuk mencari nilai x, kita bisa membagi kedua sisi dengan 2:
0 / 2 = sin(x – 30°)
0 = sin(x – 30°)
Kita perlu mencari nilai sudut (misalkan θ) sehingga sin(θ) = 0. Sudut-sudut yang memenuhi ini adalah 0°, 180°, 360°, 540°, dan seterusnya (kelipatan 180°).
Dalam kasus ini, θ = x – 30°. Jadi, kita memiliki:
x – 30° = 0° => x = 30°
x – 30° = 180° => x = 210°
x – 30° = 360° => x = 390°
Karena kita dibatasi pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, maka solusi yang valid adalah x = 30° dan x = 210°.
Koordinat titik potong dengan sumbu X adalah (30°, 0) dan (210°, 0).
Jadi, titik potong grafik y = 2 sin(x – 30°) dengan sumbu X untuk interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah (30°, 0) dan (210°, 0).
Soal 3: Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Soal: Berapakah nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh fungsi y = 2 sin(x – 30°)?
Pembahasan:
Seperti yang telah kita bahas sebelumnya, amplitudo (A) dari fungsi y = A sin(B(x – C)) + D menentukan nilai maksimum dan minimum.
Dalam persamaan y = 2 sin(x – 30°), nilai A = 2.
Nilai maksimum fungsi sinus adalah 1, dan nilai minimumnya adalah -1. Ketika dikalikan dengan amplitudo A:
- Nilai maksimum = A 1 = 2 1 = 2
- Nilai minimum = A (-1) = 2 (-1) = -2
Pergeseran horizontal (C) dan vertikal (D) tidak memengaruhi nilai maksimum dan minimum absolut, hanya posisi di mana nilai tersebut dicapai.
Jadi, nilai maksimum fungsi y = 2 sin(x – 30°) adalah 2, dan nilai minimumnya adalah -2.
Soal 4: Menentukan Periode Fungsi
Soal: Berapakah periode dari fungsi y = 2 sin(x – 30°)?
Pembahasan:
Periode fungsi trigonometri y = A sin(B(x – C)) + D dihitung dengan rumus:
Periode = 360° / |B|
Dalam persamaan y = 2 sin(x – 30°), koefisien dari x di dalam kurung adalah 1. Jadi, B = 1.
Periode = 360° / |1|
Periode = 360°
Jadi, periode dari fungsi y = 2 sin(x – 30°) adalah 360°.
Soal 5: Menentukan Koordinat Puncak Grafik
Soal: Tentukan koordinat salah satu titik puncak dari grafik y = 2 sin(x – 30°) dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Pembahasan:
Titik puncak terjadi ketika nilai fungsi sinus mencapai nilai maksimumnya, yaitu 1.
Dalam kasus y = 2 sin(x – 30°), nilai maksimumnya adalah 2. Ini terjadi ketika sin(x – 30°) = 1.
Kita tahu bahwa sin(θ) = 1 ketika θ = 90° + k 360°, di mana k adalah bilangan bulat.
Jadi, kita set:
x – 30° = 90° + k 360°
Untuk mencari nilai x, kita tambahkan 30° ke kedua sisi:
x = 90° + 30° + k 360°
x = 120° + k 360°
Untuk interval 0° ≤ x ≤ 360°, kita bisa ambil k = 0:
x = 120° + 0 * 360°
x = 120°
Ketika x = 120°, nilai y adalah:
y = 2 sin(120° – 30°)
y = 2 sin(90°)
y = 2 * 1 = 2
Jadi, salah satu titik puncak adalah (120°, 2).
Jadi, salah satu koordinat titik puncak dari grafik y = 2 sin(x – 30°) adalah (120°, 2).
Soal 6: Menentukan Koordinat Lembah Grafik
Soal: Tentukan koordinat salah satu titik lembah dari grafik y = 2 sin(x – 30°) dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Pembahasan:
Titik lembah terjadi ketika nilai fungsi sinus mencapai nilai minimumnya, yaitu -1.
Dalam kasus y = 2 sin(x – 30°), nilai minimumnya adalah -2. Ini terjadi ketika sin(x – 30°) = -1.
Kita tahu bahwa sin(θ) = -1 ketika θ = 270° + k 360°, di mana k adalah bilangan bulat.
Jadi, kita set:
x – 30° = 270° + k 360°
Untuk mencari nilai x, kita tambahkan 30° ke kedua sisi:
x = 270° + 30° + k 360°
x = 300° + k 360°
Untuk interval 0° ≤ x ≤ 360°, kita bisa ambil k = 0:
x = 300° + 0 * 360°
x = 300°
Ketika x = 300°, nilai y adalah:
y = 2 sin(300° – 30°)
y = 2 sin(270°)
y = 2 * (-1) = -2
Jadi, salah satu titik lembah adalah (300°, -2).
Jadi, salah satu koordinat titik lembah dari grafik y = 2 sin(x – 30°) adalah (300°, -2).
Kesimpulan
Memahami fungsi trigonometri seperti y = 2 sin(x – 30°) adalah kunci untuk membuka pemahaman yang lebih luas tentang pola-pola dalam matematika dan sains. Dengan memecah persamaan menjadi komponen-komponennya – amplitudo, faktor gelombang, pergeseran horizontal, dan pergeseran vertikal – kita dapat memprediksi dan memvisualisasikan bentuk grafiknya.
Melalui contoh-contoh soal yang telah dibahas, diharapkan Anda kini lebih percaya diri dalam:
- Menghitung nilai fungsi pada titik tertentu.
- Menentukan titik potong dengan sumbu X.
- Mengidentifikasi nilai maksimum dan minimum.
- Menghitung periode fungsi.
- Menentukan koordinat puncak dan lembah grafik.
Teruslah berlatih dengan berbagai variasi soal, dan jangan ragu untuk menggambar grafik secara manual atau menggunakan alat bantu visualisasi untuk memperkuat pemahaman Anda. Dunia fungsi trigonometri memang menawarkan tantangan, namun dengan pemahaman yang tepat, ia juga menawarkan keindahan dan aplikasi yang luar biasa.